ریاضیدانان راهی جدید برای شمارش اعداد اول کشف کردند

یک اثبات جدید، ریاضیدانان را یک گام به درک نظم پنهان در “اجزای بنیادی حساب” یعنی اعداد اول نزدیک‌تر کرده است.

اعداد اول — اعدادی که فقط بر خودشان و عدد ۱ بخش‌پذیرند — بنیادی‌ترین اجزای ریاضی هستند. در عین حال، آن‌ها مرموزترین اعداد نیز به شمار می‌آیند. در نگاه اول، به نظر می‌رسد که این اعداد به صورت تصادفی در خط اعداد پراکنده‌اند. اما در واقع، اعداد اول تصادفی نیستند؛ آن‌ها کاملاً از پیش تعیین شده‌اند. بررسی دقیق‌تر نشان می‌دهد که این اعداد دارای الگوهای عجیب‌وغریبی هستند که ریاضیدانان قرن‌ها برای رمزگشایی آن‌ها تلاش کرده‌اند. فهم بهتر نحوه توزیع اعداد اول، بخش‌های گسترده‌ای از جهان ریاضیات را روشن خواهد کرد.

اما در حالی که ریاضیدانان فرمول‌هایی دارند که موقعیت تقریبی اعداد اول را نشان می‌دهد، هنوز نمی‌توانند مکان دقیق آن‌ها را مشخص کنند. بنابراین، ناچار شده‌اند رویکردهای غیرمستقیمی اتخاذ کنند.

حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد، اقلیدس اثبات کرد که اعداد اول بی‌نهایت هستند. ریاضیدانان از آن زمان بر پایه اثبات او کار کرده و همین گزاره را برای اعداد اولی که معیارهای خاصی را برآورده می‌کنند نیز اثبات کرده‌اند. (مثلاً یک مثال ساده: آیا تعداد بی‌نهایتی از اعداد اول وجود دارد که عدد ۷ را در خود نداشته باشند؟) با گذشت زمان، این معیارها سخت‌تر و سخت‌تر شده‌اند. با نشان دادن اینکه همچنان بی‌نهایت عدد اول وجود دارد که چنین محدودیت‌های فزاینده‌ای را برآورده می‌کنند، ریاضیدانان توانسته‌اند اطلاعات بیشتری درباره مکان اعداد اول کسب کنند.

اما اثبات این نوع گزاره‌ها بسیار دشوار است. جانی تراواینن از دانشگاه تورکو در فنلاند می‌گوید: «چنین نتایجی بسیار کمیاب هستند.»

اکنون، دو ریاضیدان — بن گرین از دانشگاه آکسفورد و مِهتاب ساونی از دانشگاه کلمبیا — توانسته‌اند چنین گزاره‌ای را برای نوعی خاص از اعداد اول که به‌ویژه چالش‌برانگیز هستند، اثبات کنند. اثبات آن‌ها که در اکتبر به‌صورت آنلاین منتشر شد، نه تنها درک ریاضیدانان از اعداد اول را بهبود می‌بخشد، بلکه از مجموعه ابزارهایی از حوزه‌ای کاملاً متفاوت از ریاضیات بهره می‌برد. این موضوع نشان می‌دهد که این ابزارها بسیار قوی‌تر از تصور قبلی ریاضیدانان هستند و ممکن است برای کاربردهای دیگری نیز آماده باشند.

Mehtaab Sawhney

جان فریدلندر از دانشگاه تورنتو می‌گوید: «این فوق‌العاده است. واقعاً من را شگفت‌زده کرد که آن‌ها توانستند این کار را انجام دهند.»

مجموعه‌ای چالش‌برانگیز

ریاضیدانان معمولاً به مطالعه خانواده‌هایی از اعداد اول می‌پردازند که به اندازه کافی پیچیده باشند تا جذاب به نظر برسند، اما همچنان به اندازه‌ای ساده باشند که بتوان پیشرفت کرد. مثلاً ممکن است بخواهند اثبات کنند که بی‌نهایت عدد اول وجود دارد که فاصله آن‌ها ۵۰۰ واحد است. یا اینکه بتوان بی‌نهایت عدد اول را با جمع کردن مربع اعداد دیگر ساخت.
این محدودیت اخیر بسیار مفید بوده و قرن‌ها پیشرفت ریاضی را هدایت کرده است. در سال ۱۶۴۰، پیر دو فرما حدس زد که بی‌نهایت عدد اول وجود دارد که می‌توان آن‌ها را با جمع مربع دو عدد صحیح به دست آورد. (به عنوان مثال، عدد اول ۱۳ را می‌توان به صورت 2² + 3² نوشت.) بعدها، لئونارد اویلر این حدس را اثبات کرد. اما اگر کمی سوال را تغییر دهیم — مثلاً با اصرار بر اینکه یکی از اعدادی که مربع می‌کنید فرد باشد، یا خودش یک مربع کامل باشد — مسئله بسیار دشوارتر می‌شود. بن گرین می‌گوید: «هر چه مجموعه‌ای را محدودتر کنید، یافتن اعداد اول در آن دشوارتر می‌شود.»

در قرن نوزدهم، تحقیق درباره این نوع گزاره‌ها به توسعه بسیاری از نظریه‌های مدرن اعداد منجر شد. در قرن بیستم، این تحقیقات الهام‌بخش یکی از بلندپروازانه‌ترین تلاش‌های ریاضی به نام برنامه Langlands شدند. در قرن بیست و یکم نیز کار بر روی چنین اعدادی همچنان به ارائه تکنیک‌ها و بینش‌های جدید منجر شده است.

در سال ۲۰۱۸، جان فریدلندر و هنریک ایوانیتس از دانشگاه راتگرز این سوال را مطرح کردند که آیا بی‌نهایت عدد اول از فرم p2 + 4q2  وجود دارد که در آن p و $q$ نیز باید اعداد اول باشند؟ (برای مثال، 41 = 5² + 4 × 2²) این محدودیت چالش‌برانگیزتر از حد انتظار بود. اما اگر ریاضیدانان بتوانند این مسئله را حل کنند، می‌توانند سطح جدیدی از کنترل بر اعداد اول اعمال کنند — همان چیزی که همیشه آرزویش را داشتند.

بازدیدی پربار

نه گرین و نه ساونی قبلاً با این نوع بازی شمارش اعداد اول سر و کار نداشتند، اما هر دو در مطالعه الگوهای عجیب و غریب اعداد اول تجربه داشتند.

در ژوئیه، این دو ریاضیدان در یک کنفرانس در ادینبرو ملاقات کردند. ساونی که به‌تازگی تحصیلات تکمیلی خود را به پایان رسانده بود، همیشه به گرین علاقه داشت. ساونی گفت: «یکی از نتایج بنیادینی که گرین ۲۰ سال پیش اثبات کرده بود، مرا به این حوزه کشاند. با خودم گفتم: “وای، چطور توانسته‌ای این کار را بکنی؟”» گرین نیز از این ریاضیدان جوان تحت تأثیر قرار گرفت و گفت: «مِهتاب یک ریاضیدان استثنایی است. او به نوعی همه چیز را می‌داند.»

Ben Green

این دو تصمیم گرفتند با هم همکاری کنند. آن‌ها فقط نیاز داشتند مسئله مناسبی برای کار پیدا کنند. پس از بحث و گفت‌وگو، روی حدس فریدلندر و ایوانیتس توافق کردند.
گرین ساونی را برای یک هفته به آکسفورد دعوت کرد. آن‌ها می‌دانستند که برای اثبات حدس‌های مشابه، ریاضیدانان معمولاً از مجموعه‌ای خاص از تکنیک‌های شمارش استفاده می‌کنند. اما به دلیل تعریف بسیار محدود اعداد اول در مسئله‌شان، نمی‌توانستند راهی پیدا کنند تا از این ابزارهای سنتی بهره بگیرند.

در عوض، امیدوار بودند که با رویکردی غیرمستقیم این حدس را اثبات کنند — به نوعی شبیه حرکت در بازی شطرنج. اما ابتدا باید ثابت می‌کردند که اصلاً اجازه این حرکت را دارند.

تا پایان بازدید ساونی، او و گرین توانستند نحوه انجام این کار را پیدا کنند — که به آن‌ها اجازه داد حدس را اثبات کنند. برای این کار، آن‌ها ارتباطی شگفت‌انگیز با حوزه دیگری از ریاضیات برقرار کردند.

امتحان مجموعه‌ای دیگر

گرین و ساونی نمی‌توانستند مستقیماً تعداد اعداد اولی را که با مربع کردن دو عدد اول دیگر و جمع آن‌ها ساخته شده بودند، بشمارند. اما اگر کمی محدودیت را کاهش می‌دادند چه؟ آن‌ها دریافتند که می‌توانند نسخه‌ای ضعیف‌تر از مسئله خود را حل کنند — نسخه‌ای که در آن اعدادی که مربع می‌شوند فقط باید «تقریباً» عدد اول باشند.

اعداد تقریباً اول یافتنشان بسیار آسان‌تر از اعداد اول است. مثلاً اگر بخواهید همه اعداد تقریباً اول بین ۱ تا ۲۰۰ را بشمارید، ابتدا تعدادی از کوچک‌ترین اعداد اول — مانند ۲، ۳، ۵ و ۷ — را در نظر بگیرید. سپس همه اعدادی را که بر این اعداد بخش‌پذیر نیستند فهرست کنید. این اعداد تقریباً اول هستند. در این مثال، شما به ۵۰ عدد تقریباً اول می‌رسید: ۴۶ عدد از آن‌ها واقعاً اول هستند، در حالی که چهار عدد باقی‌مانده (۱۲۱، ۱۴۳، ۱۶۹ و ۱۸۷) این‌طور نیستند. از آنجا که اعداد تقریباً اول بسیار کمتر از اعداد اول به صورت تصادفی توزیع شده‌اند، کار با آن‌ها به طور قابل توجهی آسان‌تر است. ساونی گفت: «اعداد تقریباً اول مجموعه‌ای هستند که ما بسیار، بسیار بهتر آن را می‌فهمیم.»

گرین و ساونی اثبات کردند که بی‌نهایت عدد اول وجود دارد که می‌توان آن‌ها را با مربع کردن دو عدد تقریباً اول و جمع آن‌ها به دست آورد. سپس باید نشان می‌دادند که این گزاره به مسئله اصلی آن‌ها منجر می‌شود: اینکه بی‌نهایت عدد اول وجود دارد که می‌توان آن‌ها را به صورت مجموع مربع‌های اعداد اول واقعی نوشت.

اما این مسئله بدیهی نبود. آن‌ها باید مجموعه خاصی از توابع، به نام مجموع‌های نوع I و نوع II، را برای هر نسخه از مسئله خود تحلیل می‌کردند و سپس نشان می‌دادند که این مجموع‌ها صرف‌نظر از محدودیت‌های استفاده شده معادل هستند. تنها در این صورت بود که گرین و ساونی می‌توانستند اعداد تقریباً اول را در اثبات خود جایگزین کنند، بدون اینکه اطلاعاتی را از دست بدهند.

به زودی به این نتیجه رسیدند: آن‌ها می‌توانستند نشان دهند که مجموع‌ها معادل هستند، با استفاده از ابزاری که هر دوی آن‌ها به طور مستقل در کارهای قبلی خود با آن مواجه شده بودند. این ابزار، که به عنوان هنجار گاورز شناخته می‌شود، دهه‌ها پیش توسط تیموتی گاورز توسعه یافت تا میزان تصادفی بودن یا ساختاری بودن یک تابع یا مجموعه اعداد را اندازه‌گیری کند. ساونی گفت: «به‌عنوان یک فرد بیرونی، تقریباً غیرممکن است که بگویید این چیزها به هم مرتبط هستند.»

اما با استفاده از یک نتیجه برجسته که در سال ۲۰۱۸ توسط ریاضیدانان Terence Tao و Tamar Ziegler اثبات شده بود، گرین و ساونی توانستند ارتباط بین هنجار گاورز و مجموع‌های نوع I و نوع II را برقرار کنند. اساساً، آن‌ها باید از هنجار گاورز استفاده می‌کردند تا نشان دهند که دو مجموعه اعداد اول — مجموعه‌ای که با استفاده از اعداد تقریباً اول ساخته شده بود و مجموعه‌ای که با اعداد اول واقعی ساخته شده بود — به اندازه کافی شبیه یکدیگر هستند.

همان‌طور که معلوم شد، ساونی می‌دانست چگونه این کار را انجام دهد. اوایل امسال، برای حل مسئله‌ای غیرمرتبط، تکنیکی برای مقایسه مجموعه‌ها با استفاده از هنجار گاورز توسعه داده بود. به شگفتی او، این تکنیک به اندازه کافی قوی بود تا نشان دهد این دو مجموعه مجموع‌های نوع I و نوع II یکسانی دارند.

با این دستاورد، گرین و ساونی توانستند حدس فریدلندر و ایوانیتس را اثبات کنند: بی‌نهایت عدد اول وجود دارد که می‌توان آن‌ها را به صورت p2+4q نوشت. در نهایت، آن‌ها نتیجه خود را گسترش دادند و اثبات کردند که بی‌نهایت عدد اول متعلق به انواع دیگری از خانواده‌ها نیز وجود دارد. این نتیجه نشان‌دهنده پیشرفتی چشمگیر در نوعی از مسائل است که پیشرفت در آن‌ها معمولاً بسیار نادر است.

حتی مهم‌تر از آن، این کار نشان داد که هنجار Gowers می‌تواند به عنوان ابزاری قدرتمند در حوزه‌ای جدید عمل کند. فریدلندر گفت: «از آنجا که این ابزار در این بخش از نظریه اعداد بسیار جدید است، پتانسیل انجام کارهای بسیاری با آن وجود دارد.» اکنون ریاضیدانان امیدوارند دامنه هنجار Gowers را بیشتر گسترش دهند — و تلاش کنند از آن برای حل مسائل دیگری در نظریه اعداد فراتر از شمارش اعداد اول استفاده کنند.

زیگلر گفت: «برای من بسیار لذت‌بخش است که می‌بینم چیزهایی که مدت‌ها پیش به آن‌ها فکر کرده‌ام، کاربردهای جدید و غیرمنتظره پیدا کرده‌اند. مثل این است که فرزندتان را آزاد می‌کنید و آن‌ها بزرگ می‌شوند و کارهای اسرارآمیز و غیرمنتظره انجام می‌دهند.»

این تحقیق واقعاً جالب است! اگرچه به طور مستقیم روی تحلیل رمز الگوریتم‌های کلید عمومی مبتنی بر اعداد اول تأثیر عملی ندارد، اما هر پیشرفتی در درک توزیع و ساختار اعداد اول اهمیت زیادی دارد.

منبع: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-uncover-a-new-way-to-count-prime-numbers-20241211/